| Resumo: | This work makes a mathematical study aiming to solve the problem of image's reconstruction in Electrical Impedance Tomography. In this image technique, electrodes are positioned on the boundary/border of a volume to be studied. In two of them, patterns of currents are "injected" and in the remaining electrodes electric potentials are measured. Through these data it is possible to estimate the electrical conductivity or resistivity within the region assessed, thus forming an image of it using its electrical properties. In order to establish this estimate, it is necessary to solve two problems: the forward and the inverse problem. The forward problem consists in solving the generalized Laplace equation, which governs the potential within the studied region. To accomplish that, numerical methods are used, such as the Finite Element Method, the Boundary Element Method or the Finite Difference Method which was the method used in this work. By solving the forward problem and the measurements of the potential contour the inverse problem is solved. In this process, the potential is calculated and measured values of potential are placed in an error functional and the distribution of conductivity that minimizes the value of this functional is searched. A Minimization procedure known as simulated annealing applied to the functional can to resolve the Electrical Impedance Tomography's inverse problem.
Este trabalho faz um estudo matemático para solução do problema de reconstrução de imagens da Tomografia por Impedância Elétrica. Nesta técnica são posicionados eletrodos no contorno/fronteira de um volume a ser estudado. Em dois deles, são “injetados” padrões de correntes e nos eletrodos restantes são medidos potenciais e correntes elétricas. Através desses dados é possível estimar a condutividade ou resistividade elétrica no interior da região avaliada, formando assim uma imagem da mesma4, utilizando suas propriedades elétricas. Para fazer esta estimativa, é necessário resolver dois problemas, um deles chamado de problema direto e o outro de problema inverso. O problema direto consiste na solução da equação generalizada de Laplace, a qual rege o poten-cial no interior da região. Para isso, são utilizados métodos numéricos, como o Método dos Elementos Finitos, o Método dos Elementos de Contorno ou ainda, o Método das Diferenças Finitas que é o método utilizado nesse trabalho. Através da solução do problema direto e das medidas dos potenciais no contorno é resolvido o problema inverso. Nesse processo, os potenciais calculados e medidos são colocados dentro de um funcional de erro e busca-se a distribuição de condutividade que minimiza o valor desse funcional. Para isso são utilizados métodos de minimização, tal como o método de recozimento simulado utilizado neste trabalho. Esse método, por sua vez, mostrou-se capaz de resolver o problema inverso da Tomografia por Impedância Elétrica. |
